مختبر الرياضيات التطبيقية للعصر الحديث

⚡ محاكي الانحدار التدرجي (Gradient Descent)

محاكاة تفاعلية حية لكيفية تحسين النماذج العصبية لأوزانها عبر حساب مشتقة دالة الخسارة والسير عكس اتجاه التدرج.

معدل التعلم (η): 0.1

الوزن الحالي (w):0.2000

قيمة الخسارة L(w):—

قيمة التدرج ∇L:—

🧠 مستكشف دوال التنشيط العصبية (Activations)

تحليل منحنيات التنشيط (Sigmoid, ReLU, GELU, Tanh) ومشتقاتها التي تمنح الشبكات العصبية قدرة النمذجة اللاخطية.

قيمة المدخل x: 1.0

f(x) = —

📐 حاسبة التشابه الجيبي للمتجهات (Cosine Similarity & Embeddings)

المعادلة المركزية في نماذج الذكاء الاصطناعي التوليدي والبحث الدلالي: قياس زاوية التقارب بين تمثيلات النصوص والصور.

المتجه الأول A: المتجه الثاني B:

التشابه الجيبي (Cosine):—

الجداء السلمي (Dot):—

المسافة الإقليدية:—

الزاوية بينهما (θ):—

🔒 محاكي خوارزمية RSA للتشفير بالمفتاح العام

الأساس الرياضي لحماية الإنترنت: مبرهنة أويلر والحساب النمطي وتوليد المفاتيح من جداء عددين أوليين.

العدد الأولي p: العدد الأولي q:

المقياس n:—

دالة أويلر φ(n):—

المفتاح العام e:—

المفتاح الخاص d:—

الرسالة الرقمية (m < n):

الرسالة المشفرة (Cipher c):—

النص الأصلي بعد الفك:—

🤝 بروتوكول تبادل المفاتيح ديفي-هيلمان (Diffie-Hellman)

توليد سر مشترك عبر قناة اتصال عامة دون كشف الأسرار، بالاعتماد على صعوبة اللوغاريتم النمطي المنفصل.

المعامل الأولي p: المولد العام g:

سر أليس الخاص (a): سر بوب الخاص (b):

قيمة أليس العامة A:—

قيمة بوب العامة B:—

المفتاح السري المشترك:—

🪐 محاكي مدارات كبلر والميكانيكا السماوية

قوانين كبلر الثلاثة: مدارات إهليلجية، مساحات متساوية في أزمنة متساوية، وحساب سرعة الإفلات المدارية.

نصف المحور الأكبر a (AU): 1.5 الانحراف المداري e: 0.4

الدور المداري T:—

سرعة الحضيض:—

سرعة الأوج:—

سرعة الإفلات:—

💰 حاسبة النمو الأسي والفائدة المركبة

مقارنة رياضية بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة والنمو الأسي المستمر P · e^(rt).

المبلغ الأساسي (دج): الفائدة السنوية %: السنوات:

إجمالي القيمة المستقبلية:—

الأرباح التراكمية:—

المردود السنوي الفعلي (APY):—

🎲 محاكي مونت كارلو لإدارة المخاطر العشوائية

توليد 60 مساراً عشوائياً مستنداً إلى الحركة البراونية الهندسية، مع تحديد المئين الخامس والمتوسط والتاسع والخمسين.

متوسط التوقع المالي:—

أدنى سيناريو 5% (VaR):—

أعلى سيناريو 95%:—

🧊 دوران الأجسام بالكواترنيون (Quaternions)

دوران فضاء 3D دون مشكلة القفل الحلقي (Gimbal Lock) باستخدام الكواترنيون والمسقط الإسقاطي المنظوري.

دوران X: دوران Y: دوران Z:

🎨 منحنيات بيزييه التكعيبية (Cubic Bézier)

الأساس الرياضي لكل الرسوميات والخطوط الحاسوبية والتحريك الرقمي المعاصر.

منحنى وسيطي بمعادلة B(t) ونقاط تحكم P0, P1, P2, P3 ومماسات السرعة.

🦠 نموذج انتشار الأوبئة الرياضي (SIR Differential Model)

المعادلات التفاضلية للأنظمة الحيوية: المعرضون للإصابة (S)، المصابون (I)، والمتعافون (R)، مع حساب عدد التكاثر الأساسي R0 وعتبة مناعة القطيع.

معدل انتقال العدوى (β): 0.35 معدل الشفاء اليومي (γ): 0.1

عدد التكاثر الأساسي R₀:—

ذروة الإصابات واليوم:—

عتبة مناعة القطيع (1 - 1/R₀):—